Question

设F1,F2分别为椭圆C:(x^2/a^2)+(y^2/b^2)=1(a>b>0)的左，右焦点，过F2的直线L与椭圆C相交于A,B两点，直线L

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设F1,F2分别为椭圆C:(x^2/a^2)+(y^2/b^2)=1(a>b>0)的左，右焦点，过F2的直线L与椭圆C相交于A,B两点，直线L的顷斜角为60度，F1到直线L的距离为2√3,如果向量AF2=2*向量F2B,求椭圆C的方程

Answer 1

解：2c=2√3/sin60=4
所以c=2
设直线为y=√3(x-2)设A（x1，y1）B（x2，y2）
代入椭圆方程b²x²+a²y²=a²b²
b²x²+a²[√3(x-2)] ²=a²b²
(3a²+b²)x²-12a²x+12a²-a²b²=0
x1+x2=12a²/(3a²+b²)
x1*x2=(12a²-a²b²)/(3a²+b²)
x=(6a²±2ab²)/(3a²+b)
|AF2|=2|F2B|
2-x1=2(x2-2)
x1+2x2=6
这里A在F2的左侧，x1=(6a²-2ab²)/(3a²+b²)
x2=(6a²+2ab²)/(3a²+b²)
代入x1+2x2=6
解得a=3，c=2，b²=a²-c²=5
椭圆方程：x²/9+y²/5=1
或这样做：设AF2=x，F2B=y
根据余弦定理
[x²+4-(2a-x) ²]/[2x*(2a-x)]=cos60
x=(a²-4)/(a-1)
同理y=(a²-4)/(a+1)
X=2y
a=3,c=2,b²=5
结果一样