Question

线性代数之证明题2

设A为可逆矩阵，证：A的伴随矩阵A*可逆，且A*的逆=A逆的*

Answer 1

因为 A可逆, 所以 |A| != 0
由 AA* = |A|E, 两边取行列式, 得 |A||A*| = |A|^n
由 |A| != 0, 得 |A*| = |A|^(n-1) != 0. 所以 A* 可逆.

再由 AA* = |A|E, 知 A* = |A| A逆
所以 (A逆)* = |A逆| (A逆)逆 = A / |A|
(A*)逆 = ( |A| A逆)逆 = A / |A|
所以 (A*)逆=(A逆)*

Answer 2

AA*=|A|E;所以A*=|A|A逆；1/|A| A 乘以A*=E;所以可逆且
A*逆=1/|A| A
（A逆）*=|A逆|A=1/|A| A=A*逆