Question

急！！！急！！！盐城2011高三数学调研已知函数设f(x)=1+x-(x^2)/2+(x^3)/3-(x^4)/4+......+(x^2011)/2011

已知函数f(x)=1+x-(x^2)/2+(x^3)/3-(x^4)/4+......+(x^2011)/2011,g(x)=1-x+(x^2)/2-(x^3)/3+(x^4)/4-......-(x^2011)/2011,设F(x)=f(x+3)*g(x-3),且函数F(x)的零点均在区间[a,b](a<b,a,b∈Z)内，则b-a的最小值为 急！！！

Answer 1

f'(x)=1-x+x^2-x^3+......+x^2010
若x=-1，则f'(x)=2011>0，若x不等于-1，则f'(x)=(1+x^2011)/(1+x)>0，所以f(x)在R上单调递增，
f(-1)=-1/2-1/3-......-1/2011<0，f(0)=1>0，所以f(x)=0有唯一实数解，解在区间(-1，0)上，
所以f(x+3)=0的解在(-4，-3)上
g'(x)=-1+x-x^2+x^3-......-x^2010=-f'(x)<0，所以g(x)在R上单调递减，
f(1)=(1/2-1/3)+(1/4-1/5)+......+(1/2010-1/2011)>0，f(2)=-1+(2^2/2-2^3/3)+(2^4/4-2^5/5)+......(2^2010/2010-2^2011/2011) 注意到n>=2时，2^n/n-2^(n+1)/(n+1)=(1-n)*2^n/(n*(n+1))<0，故而f(2)<0 从而g(x)有唯一实数解，解在区间(1，2)上，故g(x-3)的实数解在(4,5)上
综合上面的 f(x+3)*g(x-3)=0的解在(-4，-3)并上(4，5)上 由于a,b为整数，故b-a最小时a=-4，b=5，
b-a最小值为9

Answer 2

解：f′（x）=1-x+x2-x3+…+x2010= 1 x=1 1- x2011 1-x x≠1 ，
∴f′（x）＞0，因此f（x）是R上的增函数，
且f（0）=1＞0，f（-1）=-1 2 -1 3 -1 4 -…-1 2011 ＜0，
∴函数f（x）在（-1，0）上有一个零点；
g′（x）=-1+x-x2+x3-…-x2010= -1 x=1 -1-x2011 1-x x≠1 ，
∴g′（x）＜0，因此g（x）是R上的减函数，且g（1）=1 2 -1 3 +1 4 -…-1 2011 ＞0，
g（2）=1-2+2-8 3 +…-22011 2011 ＜0，
∴函数g（x）在（1，2）上有一个零点，
∵F（x）=f（x+3）•g（x-3），且函数F（x）的零点均在区间[a，b]（a＜b，a，b∈Z）内，
∴f（x+3）的零点在（-4，-3）内，g（x-3）的零点在（4，5）内，
因此F（x）=f（x+3）•g（x-3）的零点均在区间[-4，5]内，
∴b-a的最小值为9．
故答案为：9．