Question

已知：如图，△ABC内接于圆O，直径CD⊥AB，垂足为E，弦BF交CD于点M，交AC于点N，且BF=AC，连结AD，AM。

求证：BM²=MN×MF p..图是自己画的。。尽快解答明天中午之前要的谢谢!!

Answer 1

你好：

证明：

连接AF，

∵BF=AC，

∴弧AB+弧AF=弧AF+弧CF．

∴弧AB=弧CF．

∴∠F=∠FBC．

又∵∠CAM=∠CBM，

∴∠F=∠MAN．

∵∠AMF=∠NMA，

∴△AMF∽△NMA．

∴AM/NM=MF/MA．

∴AM²=MN•MF．

又∴BM=AM．

∴BM²=MN•MF．

如图：

Answer 2

因为△ABC内接于圆O，直径CD⊥AB，垂足为E,BF=AC
所以 CD垂直平分AB，则AC=AB=BF
所以 角BAC=角ABC=角BCF（等弦对等角），AM=BM(垂直平分线性质)，角BAM=角ABM
所以 角CBF=角ABC-角ABF=角BCF-角ACF=角ACB
所以 角MAF=角BAF-角BAM=角BAC+角CAF-角ABM=角ABC-角ABM+角CAF=角CBF+角CAF
=2角CBF=角CBF+角ACB=角MNA
又 角AMF=角NMA(同一角)
所以 △AMF∽△NMA
所以 AM/NM=MF/MA 即 AM2=MN×MF
所以 BM2=AM2=MN×MF