Question

已知tan(a+b)=2tan a 证明 3sinb=sin(2a+b)

Answer 1

要证3sinB=sin(2A+B)
即证3sin(A+B-A)=sin(A+B+A)
即证3sin(A+B)cosA-3cos(A+B)sinA=sin(A+B)cosA+cos(A+B)sinA
即证2sin(A+B)cosA=4cos(A+B)sinA
即证tan(A+B)=2tanA
由已知条件，得证。

Answer 2

要证3sinb=sin(2a+b)
只需证3sin[(a+b)-a]=sin[(a+b)+a]
即3sin(a+b)cosa-3sinacos(a+b)=sin(a+b)cosa+sinacos(a+b)
即2sin(a+b)cosa=4sinacos(a+b)
由已知条件可知cosacos(a+b)≠0，等号两边同时除以cosacos(a+b)
所以要证原式只需证：tan(a+b)=2tana
有已知条件得tan(a+b)=2tana成立
所以3sinb=sin(2a+b) 得证。