Question

如何证明:x^(1/x) 当x-> 无限大的时候的极限为1?

Answer 1

lim(tanx-x)/x^3
=lim(secxsecx-1)/3x^2 （罗必塔法则）
=lim(2secxsecxtanx)/6x （罗必塔法则）
=1/3limsecxsecx （因为tanx与x是等价无穷小约掉）
=1/3
即lim（tanx-x）= （1/3）x^3
得证
正推用泰勒公式：
f(x)=tanx,f'(x)=(secx)^2,f''(x)=2(secx)^2tanx,
f(3)(x)=4(secx)^2(tanx)^2+2(secx)^4
那么f(0)=0,f'(0)=1,f''(0)=0,f(3)(0)=2
tanx=0+x+0+(2/3!)x^3+o(x^3)
=x+(1/3)x^3+o(x^3) o(x^3)是比x^3高阶的无穷小
所以当x—>0时，lim（tanx-x）
=lim[(1/3)x^3+o(x^3)]
=(1/3)x^3

Answer 2

因为x-> 无限大的时候 1/X->0 你看数学分析书，第一章应该就能得到答案

Answer 3

x^(1/x)=e^[(lnx)/x]
而lim(x->∞) lnx/x
=lim(x->∞) 1/x
=0
则
原式趋向于e^0=1