Question

已知函数f(x)=e^x-e^(-x)(属于R)(1)判断函数f(x)的奇偶性与单调性(2)是否存在实数t使不等式

已知函数f(x)=e^x-e^(-x)(属于R)(1)判断函数f(x)的奇偶性与单调性(2)是否存在实数t使不等式f(x-t)+f(x^2+t^2)>=0,对一切x都成立？若存在，求出t；若不存在，说明理由。

Answer 1

（1）因为f(-x)=e^(-x)-e^x=-[e^x-e^(-x)]=-f(x)
所以f(x)是奇函数。
因为f(x+1)-f(x)=e^(x+1)-e^(-x-1)-[e^x-e^(-x)]=e^(x+1)-e^x-[e^(-x-1)-e^(-x)]>0
所以f(x)是增函数
（2）假设存在，则f(x-t)>=-f(x^2+t^2),
f(x-t)>=f[-(x^2+t^2)]
所以x-t>=-(x^2+t^2)
x^2+t^2+x-t=(x+1/2)^2+(t-1/2)^2-1/2>=0
若对一切x都成立，则(t-1/2)^2-1/2>=0
解得 t>=1/2+根号2/2 或t<=1/2-根号2/2

Answer 2

因为f(x)=-f(-x),所以为奇函数，对函数求导得2e^x>0所以为增函数。