Question

高一数学函数问题

关于x的方程 lg(ax)*lg(ax^2)=4的根都大于1，则实数a的范围？

已知f(x)=2^x g(x)=(x-2)/(x+1)
证明：方程f(x)+g(x)=0无负数根

最好有过程...

Answer 1

lg(ax)*lg(ax²)=4
（lga+lgx)*(lga+2lgx)=4
2lg²x+3lgxlga+lg²a-4=0
lgx=t
2t²+3tlga+lg²a-4=0
x＞1，t=lgx＞lg1=0
两解都大于零△≥0，（3lga）^2-4*a*(lg^2-4)≥0 lg^2＞-32
（维达定理）
t1+t2=（-3lga）/2＞0 lga＜0
t1*t2=（2lg²a-4）/2＞0 lga＜-2或＞2
综上lga＜-2
0＜a＜1/100

第二个用反证法，假设x有负数根-x，带入证明方程无解就可以了

Answer 2

一、因为 x>1， 所以 a>0 (对数函数的定义域)
lg(ax)= lga+lgx
lg(ax^2)=lga+lgx^2=lga+2lgx
所以 4= lg(ax)*lg(ax^2)
=（lga+lgx）（lga+2lgx）
=(lga)^2+3lga*lgx+2(lgx)^2
=2(lgx+3lga/4)^2-lga/8
(1) 若0<a<1,则lga<0,所以4=2(lgx+3lga/4)^2-lga/8>=-lga/8
lga>=-32 ,所以 10^(-32)<=a<1 当lgx=-3lga/4即 x=a^(-3/4)时取到
(2) 若a>=1，则lga>=0,而lgx>0,所以4>(lga)^2 即 1<=a<100
综上 10^(-32)<=a<100
二、令F(x)=f(x)+g(x)=2^x+(x-2)/(x+1)=2^x+1-3/(x+1) (x≠-1)
所以 F`(x)=2^x ln2+3/(x+1)^2>0
所以 F(X)min=F(-∞)=0+1+0>0
故 F(X)无负数根, 即方程f(x)+g(x)=0无负数根