Question

高二数学导数

是否存在这样的k值,使函数f(x)=k²x四次方-2/3x³-kx²+2x+1/2在(1,2)上递减,在(2，负无穷)上递增.

Answer 1

由题目可知，在x=2时，方程有极小值。即x=2是方程f'(x)=0的一个解。首先对所给函数求导。
f'(x)=4k^2x^3-2x^2-2kx+2,
将x=2代入方程f'(x)=0，得到方程32k^2-8-4k+2=0,分解因式得（2k-1)(8k+3)=0,解得k=1/2或-3/8
接下来要检验哪个k值才是所求的值。
先将k=1/2代入方程f'(x)=0中得到f'(x)=x^3-2x^2-x+2=x^3-x-2(x^2-1)=x(x^2-1)-2(x^2-1)=(x-2)(x^2-1)=(x-2)(x-1)(x+1) 分析可得，在x=2和x=-1时，方程有极小值，x=1时，方程有极大值。符合题意，所以k=1/2
再将k=-3/8代入方程f'(x)=0，重复以上步骤，检验方程在x=2时，是否有极小值。可得，方程在在x=2时，没有极小值。所以k=-3/8舍去。
结果是k=1/2。