Question

数学高手请进！

点P在边长为a的正三角形内，P到三边的距离分别为PM\PN\PH,则对于适当的正常数m^2，使PM^2+PN^2+PH^2=m^2成立的点的轨迹是什么？m^2的取值范围是什么？

Answer 1

将正三角形放在坐标系中，使三点坐标为（-a/2，0）（a/2，0）（0，a*根号3/2）
设p（x，y）
两条斜边方程: 根号3*x+y-a*根号3 /2=0
根号3*x-y+a*根号3 /2=0
PM^2=1/4(根号3*x+y-a*根号3 /2)
PN^2=1/4(根号3*x-y+a*根号3 /2)
PH^2=y^2
带入化简得
x^2+(y-a*根号3 /6)^2=m^2/6-a^2/12 -a/2=<x<=a/2 0=<y<=a*根号3 /2
m^2/6-a^2/12 >=0 m^2>=a^2/2
轨迹是部分圆

追问

楼上的取值范围算得和参考答案一样，可惜没有过程，希望你借鉴一下

追答

将正三角形放在坐标系中，使三点坐标为（-a/2，0）（a/2，0）（0，a*根号3/2）
设p（x，y）
两条斜边方程: 根号3*x+y-a*根号3 /2=0
根号3*x-y+a*根号3 /2=0
PM^2=1/4(根号3*x+y-a*根号3 /2)
PN^2=1/4(根号3*x-y+a*根号3 /2)
PH^2=y^2
带入化简得
x^2+(y-a*根号3 /6)^2=2*m^2/3-a^2/6 -a/2=<x<=a/2 0=<y<=a*根号3 /2
x^2+(y-a*根号3 /6)^2表示（0，a*根号3/6）为圆心的圆，这个圆心正好是三角形的中心，分别在圆心和三角形顶点取得极值（画图看一下）
0=<2*m^2/3-a^2/6 <=a^2/3
解得 a^2/4<=m^2<=3a^2/4
轨迹是圆

我计算不行，修修改改的，见笑了

Answer 2

m^2属于[a^2/4 , 3a^2/4]

Answer 3

轨迹是内切圆
m平方的是取值范围是什么 你自己算算看 也可以借鉴楼上m^2属于[a^2/4 , 3a^2/4]

Answer 4

I'm Wrong