Question

数学问题 P（2,1）

过点P的直线L交x轴、y轴的正半轴与A、B连点，求使丨PA丨×丨PB丨最小时L的方程。

Answer 1

设直线斜率是k，根据点斜式那么
直线方程为y-1=k(x-2) 而且k<0
|PA|*|PB|
=根号{[4+(1+2k-1)^2][(2+1/k-2)^2+1]}
=-2(k^2+1)/k
=2(-k-1/k)
=2（-k²-1）/k
-k>0 -1/k>0
根据均值不等式有
(-k)+(-1/k)>=1/2
当且仅当-k=-1/k即k=-1时取等号
由此可以得出
|PA|*|PB|最小值为1
此时直线方程为y-1=-(x-2)即y=-x+3
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方法2：（如果没有学习均值不等式的话）
在求出PA×PB后根据单调性来解决问题
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方法3“：如果学习了导数，就更方便了，求导吧

Answer 2

直线方程为y-1=k(x-2) 易知k<0
|PA|*|PB|=根号{[4+(1+2k-1)^2][(2+1/k-2)^2+1]}
=-2(k^2+1)/k
=2(-k-1/k)
-k>0 -1/k>0
(-k)+(-1/k)>=1/2 当且仅当-k=-1/k即k=-1时取等号
|PA|*|PB|最小值为1 此时直线方程为y-1=-(x-2)即y=-x+3