Question

急~~~~~~数学难题

过点P（2,1）的直线L交x轴、y轴的正半轴与A、B连点，求使丨PA丨×丨PB丨最小时L的方程。

Answer 1

一楼答案是正确的，但是过程错了，估计是复制的别人的~
过程中均值不等式用错了
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设直线斜率是k，根据点斜式那么
直线方程为y-1=k(x-2) 而且k<0
|PA|*|PB|
=根号{[4+(1+2k-1)^2][(2+1/k-2)^2+1]}
=-2(k^2+1)/k
=2(-k-1/k)
=2（-k²-1）/k
-k>0 -1/k>0
根据均值不等式有
(-k)+(-1/k)>=2
当且仅当-k=-1/k即k=-1时取等号
由此可以得出
|PA|*|PB|最小值为1
此时直线方程为y-1=-(x-2)即y=-x+3

Answer 2

直线方程为y-1=k(x-2) 易知k<0
|PA|*|PB|=根号{[4+(1+2k-1)^2][(2+1/k-2)^2+1]}
=-2(k^2+1)/k
=2(-k-1/k)
-k>0 -1/k>0
(-k)+(-1/k)>=1/2 当且仅当-k=-1/k即k=-1时取等号
|PA|*|PB|最小值为1 此时直线方程为y-1=-(x-2)即y=-x+3

Answer 3

先设直线方程y=ax+b 过P点 带入 的2a+b=1
设A点（0,y) B(x,0) 带入 得到y=b x=-b\a
丨PA丨×丨PB丨=x × y =-b^2\a 又 2a+b=1 所以b=1-2a 带入得到 丨PA丨×丨PB丨=-（1\a-4+4a) 要想丨PA丨×丨PB丨最小 所以要1\a=4a 时，即a=-1\2(其实是正负） 但是根据此题取负的。所以有直线方程y=-1\2x +3
不知道对没 还请高手指教...