Question

高一难题

定义在（-1,1）上的函数f（x）是奇函数，且当x属于（0,1）时 f（x）=（2^x)/(4^x+1)
1、求f（x）在（-1,1）上的解析式
2、判断f（x）在（0,1）上的单调性，并给予证明
3、当实数m为何值时，关于x的方程f（x）=m在（-1,1）上有解？

Answer 1

^应该是成方的意思吧.
当x属于(-1,0)时
f(x)=-f(-x)=-2^(-x)/(4^(-x)+1)
=-2^x/(1+4^x)
f(x)是定义在R上的奇函数,f(0)=0
f(x)在(-1,1)上的解析式:
x属于(-1,0)时,f(x)=-2^x/(4^x+1)
x属于(0,1)时,f(x)=2^x/(4^x+1)
x=0时，f(x)=0

2)减函数
证明：
0<x1<x2<1
1/f(x1)-1/f(x2)=(2^x1+1/2^x1)-(2^x2+1/2^x2)
=(2^x1-2^x2)-(1/2^x2-1/2^x1)
=(2^x1-2^x2)(1-1/2^x12^x2)
2^x1>2^x2,2^x1-2^x2>0
2^x1x2>1,1-1/2^x1x2>0
所以，1/f(x1)-1/f(x2)>0

x属于(0,1)时,f(x)=2^x/(4^x+1 )>0
所以，f(x2)>f(x1)
f(x)在(0,1)上是减函数
3）
当实数m为何值时，关于x的方程f（x）=m在（-1,1）上有解？
也就是求f(x）的值域
根据f(x)在（0,1）是减函数
而且f(x)是奇函数，所以f(x)在（-1,0）上也是减函数
f(1)=2/5
f(-1)=-2/5
∴-2/5<x<2/5
∴m∈[-2/5,2/5]

Answer 2

f（x）=（2^x)/(4^x+1) 中的^是什么意思？
若是乘的话,答案如下：
1、F（X)=（2^x)/(4^x+1) 当x在（0,1）上时
=0 当x=0时
=（2^x)/(-4^x+1) 当x在（-1,0）上时
2、单调递增
设0<X1<X2<1
F(X1)=（2^x1)/(4^x1+1)
F(X2)=（2^x2)/(4^x2+1)
F(X1)-F(X2)=(2^x1)/(4^x1+1)-(2^x2)/(4^x2+1)
=2{X1(4^x2+1) -X2(4^x1+1)}/(4^x1+1 ) (4^x2+1)
=2(X1-X2)/(4^x1+1 ) (4^x2+1)
因为X1<X2
X1和X2大于0
所以F（X1)-F(X2)<0
所以F(X1)<F(X2)
因为X1<X2
所以F（X）在（0,1）上单调递增
3、当m在（-2/5，2/5）上时，关于x的方程f（x）=m在（-1,1）上有解