Question

这道题好麻烦啊，帮忙看看

定义在（-1,1）上的函数f（x）是奇函数，且当x属于（0,1）时 f（x）=（2^x)/(4^x+1)
1、求f（x）在（-1,1）上的解析式
2、判断f（x）在（0,1）上的单调性，并给予证明
3、当实数m为何值时，关于x的方程f（x）=m在（-1,1）上有解？

Answer 1

确实麻烦……
当x属于(-1,0)时
f(x)=-f(-x)=-2^(-x)/(4^(-x)+1)
=-2^x/(1+4^x)
f(x)是定义在R上的奇函数,f(0)=0
f(x)在(-1,1)上的解析式:
x属于(-1,0)时,f(x)=-2^x/(4^x+1)
x属于(0,1)时,f(x)=2^x/(4^x+1)
x=0时，f(x)=0

2)减函数
证明：
0<x1<x2<1
1/f(x1)-1/f(x2)=(2^x1+1/2^x1)-(2^x2+1/2^x2)
=(2^x1-2^x2)-(1/2^x2-1/2^x1)
=(2^x1-2^x2)(1-1/2^x12^x2)
2^x1>2^x2,2^x1-2^x2>0
2^x1x2>1,1-1/2^x1x2>0
所以，1/f(x1)-1/f(x2)>0

x属于(0,1)时,f(x)=2^x/(4^x+1 )>0
所以，f(x2)>f(x1)
f(x)在(0,1)上是减函数
3）
当实数m为何值时，关于x的方程f（x）=m在（-1,1）上有解？
也就是求f(x）的值域
根据f(x)在（0,1）是减函数
而且f(x)是奇函数，所以f(x)在（-1,0）上也是减函数
f(1)=2/5
f(-1)=-2/5
∴-2/5<x<2/5
∴m∈[-2/5,2/5]