Question

双曲线x^2/a^2-y^2/b^2=1与抛物线y^2=8x的一个公共焦点F,且两曲线的一个交点为P,若|PF|=5,则双曲线的离心

Answer 1

∵ M是抛物线y^2=2px（p>0)与双曲线x^2-y^2=1的一个交点,∴ M在双曲线右支,由双曲线的定义,|MF1|-|MF2|=2,又|MF1|*|MF2|=5/4,
解得 |MF1|=2.5, |MF2|=0.5, ∵ ,|MF1|+|MF2|=3>|F1F2|=2√2,
由椭圆定义知,点M在以F1.F2为焦点的椭圆上.

Answer 2

抛物线y2=8x的焦点坐标为（2，0），准线方程为直线x=-2
∵双曲线
x2
a2
-
y2
b2
=1（a＞0，b＞0）与抛物线y2=8x有一个公共的焦点F
∴双曲线的右焦点坐标为F（2，0），
∴双曲线的左焦点坐标为F′（-2，0）
∵|PF|=5
∴点P的横坐标为3
代入抛物线y2=8x，y=±2
6

不妨设P（3，2
6
）
∴根据双曲线的定义，|PF'|-|PF|=2a 得出
25+24
-
1+24
=2a
∴a=1，
∵c=2
∴b=
3

∴双曲线方程为x2-
y2
3
=1