Question

已知函数f(x)=xln(1+x)-a(x+1)其中a为常数，（1）若函数f(x)在[1,+ ∞]上为单调递增函数,求a的取值范围（2

Answer 1

1 f'=ln(1+x)+x/(1+x)-a
在【1，+无穷)上是增函数，
最小值为f'min=ln2+1/2-a>0
a<ln2+1/2
2 g(x)=ln(1+x)+x/(1+x)-a-ax/(1+x)=ln(x+1)+(1-a)x/(1+x)-a
g'(x)=1/(x+1)+(1-2a)/(1+x)-(x-2ax-a)/(1+x)^2=0
x=a-2,其中x>-1
即x=a-2是g(x)的拐点，此处有极值
当a<=1时函数无意义
当a>1时，g(a-2)=ln(a-1)-2a+2,
g(0)=-a
g(a-2)-g(0)<0
g(a-2)<g(0)
x=a-2处g(x)是最小值
所以g(x)在(-1,a-2]是单调减函数
在（a-2，+无穷）是单调增函数

Answer 2

求导 得导函数ln（1+x）+x/(1+x）-a，因为函数在[1,+ ∞]上为单调递增函数,故f '（1）>=0带入及得a的取值范围是：[ln2+1/2,+无穷)