Question

已知f（x）=ax+lnx，x属于（0，e】，g(x)=lnx/x,其中e是自然数，a属于R

(1)讨论a=-1，f(x)的单调性，极值
（2）求证：在(1)的条件下，f(x)小于-g(x)-1/2
(3)是否存在实数a，使f(x)的最大值是-3，若存在，求出a的值；若不存在，说明理由

Answer 1

解：
1.f（x）=-x+lnx求导得f'(x)=1/x-1, x属于（0，e】，则x=1时取极值，极大值=-1。x属于（0，1】时，单调增；x属于（1，e】时单调减。
2.g(x)取值范围为（0，1/e】,即-g(x)-1/2最小值为-1/e-1/2>-1,得证。
3.f'(x)=1/x+a；
1°f'(x)>0即原函数单调增，求得a*e+1=-3，即a=-4/e。但f'(x)不恒大于0，舍去。
2°f'(x)<0即原函数单调减，函数无最大值。
3°f'(x)=0即x=-1/a,代入原方程得a=-e^2