Question

求一道数学题的答案

在三角形ABC中，有向量AB乘以向量AC等于二倍根号三，角BAC等于三十度，设M为三角形ABC内一点（不在边界上），定义f（M）等于x+y+z，其中x,y,z分别表示三角形MBC,三角形MCA,三角形MAB的面积，若f（M）等于x+y+二分之一，则x分之一加y分之四的最小值是多少。

Answer 1

|AB||AC|cos(30)=2×根号3
=>|AB||AC|=4
=>ABC面积为|AB||AC|×sin(30)=2
M为三角形内一点，所以根据f(M)定义，很明显f(M)=三角形面积=2
所以x+y=2-1/2=3/2

求1/x+4/y 的最小值
因为x=2/3-y
1/x+4/y=1/(2/3-y)-4/y
如果能用导数求的话
很容易解的y=1
则 x=1/2
所以最小值为6

在图形中验证，很容易得出结论 一定能找到满足x=1/2,y=1 且z=1/2 的点

追问

答案好像不对 参考答案 9 8 18 16

追答

好象还是有问题。。。
开始的时候错了 ， 谢谢你的参考答案。。。。

|AB||AC|cos(30)=2×根号3
=>|AB||AC|=4
=>ABC面积为1/2*|AB||AC|×sin(30)=1
M为三角形内一点，所以根据f(M)定义，很明显f(M)=三角形面积=1
所以x+y=1-1/2=1/2

求1/x+4/y 的最小值
因为x=1/2-y
1/x+4/y=1/(1/2-y)-4/y
如果能用导数求的话
很容易解的y=1/3
则 x=1/6
所以最小值为6+12=18

Answer 2

证明：由题知：C-B=B-A，即：A+C=2B，则A+B+C=3B=180°，得B=60°。

若△ABC的三个内角A,B,C所对应的三边分别为：a、b、c，由余弦定理，得

b^2=c^2+a^2-2ca*cosB
=c^2+a^2-2ca*cos60°
=c^2+a^2-2ca*1/2
=c^2+a^2-ca

欲证等式左边：
1/(a+b)+1/(b+c)
=(a+2b+c)/(a+b)(b+c)
=(a+2b+c)/(ab+ac+b^2+bc)=3/(a+b+c)..................①

于是原题等价于证明①式成立，交叉相乘得：

3(ab+ac+b^2+bc)=(a+b+c)(a+2b+c)=(a+b+c)[(a+b+c)+b]
3(ab+ac+b^2+bc)=(a+b+c)^2+b(a+b+c)
3ab+3ac+3b^2+3bc=a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca+ba+b^2+bc
整理，得
b^2=c^2+a^2-ca，............................②
于是要证:1/(a+b)+1/(b+c)=3/(a+b+c)成立，就等价证明②式成立。而②式已经由余弦定理证得。

所以由此倒推即得。

追问

请不要瞎胡闹 谢谢 我很急