Question

正余弦定理问题

在△ABC中，设（a³+b³-c³）/（a+b-c）=c²，且sinasinb=3/4，请判断三角形的形状

Answer 1

∵（a³+b³-c³）/（a+b-c）=c²
又（a³+b³-c³）=（a+b-c）（a²+b²+c²-ab+bc）
∴（a³+b³-c³）/（a+b-c）=a²+b²+c²-ab+bc=c²①
∵sina×sinb=a/c×b/c=ab/c²=3/4
∴设最小值时ab=3，c²=4，代入①
得：a²+b²=b（a-c）
∵三角形三边都为正数，a²＞0，b²＞0，
∴b（a-c）＞0，a＞c，a/c＞1
∵sina=a/c，sinb=b/c，ab/c²=3/4，由最小值关系和a＞c得：
b＜c，b/c＜1
∴b＜c＜a（且大于0）
∴△ABC为钝角三角形
（以后自己可以参考正弦角度值关系来判断——角度越大，比值越大，如直角三角形中sin90°=1，sin30°=1/2的道理）