Question

高中数学题~请详细看下问题，谢谢。

f(x)=ax^3+x^2-x,(a属于R,不等于零。
（1）若f（x）在（2，正无穷)上递增，求a的取值范围？
（2）求证，当a大于零时，函数f(x)在区间（-2/3a,-1/3a)上不存在零点。
第一问，我知道怎么做的，就是求导数之后讨论a之后就能得到正确结果了。
可是如果将得到的导数3ax^2+2x-1大于零化成一个关于a的不等式，也就是a大于1-2x/3x^2之后再求这个函数的最大值，得到的结果和第一种做法不一样。
但我又不知道这种做法有啥问题，是少讨论了啥条件？还是说这种题不能这么做，那神马样的题可以这么做而什么样的要用第一种讨论？球详解~
2问我不会做= =正常解答即可= =
谢~

Answer 1

（1）条件3ax^2+2x-1>=0(x>2)与条件a>(1-2x)/3x^2>=0(x>2)是一样的，两种方法都可以，可能你没有注意到细节。请看：
令g(x)=(1-2x)/3x^2，(x>2)，求导得到g'=6x(x-1)/(9x^4)>0,故g(x)递增，
当x趋向正无穷时，g(x)=1/(3x^2)-2/(3x)趋向0，但g(x)<0，因为1-2x<0。注意g(x)无最大值。
所以a只需大于或等于0，即a>=0。
（2）当a大于零时，f'(x)=3ax^2+2x-1，
f'(x)对称轴为x=-1/(3a)，开口向上，而f'(-2/(3a))=-1<0,
所以在区间（-2/(3a) , -1/(3a) ）上f'(x)<=-1<0，f(x)单调递减。
又有f(-2/(3a))=(4+18a)/(27a*a)>0,f(-1/(3a))=(8+9a)/(27a*a)>0
所以在区间（-2/(3a) , -1/(3a) ）上f(x)>0,也即无零点。

Answer 2

有可能你在解题的过程中出现错误，要注意到a大于零与a小于零的问题。
第二问是先求出函数的导数3ax^2+2x-1，然后求的f（-2/3a）和f（-1/3a）的端点的正负，要保证端点值同号，然后要保证导数3ax^2+2x-1在（-2/3a,-1/3a)上恒大于零或恒小于零，解得a的范围取交集。

Answer 3

(1) 两个方法是一样的结果
讨论法 略
最大值法
1-2x/3x^2这个函数求导后发现其再（2，正无穷)上递增
所以它的最大值为 x趋近于正无穷时的值
即lim 1-2x/3x^2 =0 （x趋近于正无穷）
所以还是a＞0
(2) f '(x)=3ax^2+2x-1
可以解出极值点为 (-1±√(1+3a))/3a
显然 -1/3a [(-1－√(1+3a))/3a , (-1＋√(1+3a))/3a]
因为 √(1+3a)＞1
所以 -1-√(1+3a)＜-2
所以 (-1－√(1+3a))/3a ＜ -2/3a
所以 f(x)在区间（-2/3a,-1/3a)上单调递减
因为 f(-1/3a) = (9a+2)/27a^3＞0
所以 函数f(x)在区间（-2/3a,-1/3a)上不存在零点。

Answer 4

f(x)=ax^3+x^2-x,(a属于R,不等于零。
（1）若f（x）在（2，正无穷)上递增，求a的取值范围？
（2）求证，当a大于零时，函数f(x)在区间（-2/3a,-1/3a)上不存在零点。
(1) 两个方法是一样的结果
讨论法 略
最大值法
1-2x/3x^2这个函数求导后发现其再（2，正无穷)上递增
所以它的最大值为 x趋近于正无穷时的值
即lim 1-2x/3x^2 =0 （x趋近于正无穷）
所以还是a＞0
(2) f '(x)=3ax^2+2x-1
可以解出极值点为 (-1±√(1+3a))/3a
显然 -1/3a [(-1－√(1+3a))/3a , (-1＋√(1+3a))/3a]
因为 √(1+3a)＞1
所以 -1-√(1+3a)＜-2
所以 (-1－√(1+3a))/3a ＜ -2/3a
所以 f(x)在区间（-2/3a,-1/3a)上单调递减
因为 f(-1/3a) = (9a+2)/27a^3＞0
所以 函数f(x)在区间（-2/3a,-1/3a)上不存在零点。