Question

急！！数学问题，求详细过程

14. 设双曲线x^2/a^2-y^2/b^2=1(a>0,b>0)的左右焦点分别为F1（-c,0).F2(c,0),c>0若以 F1F2为斜边的等腰直角三角形F1AF2的直角边的中点在双曲线上,则c/a=??

Answer 1

解：
在直角三角形F1AF2中：∵|F1F2|=2c，∴|OA|=c，即A(0,c)或者(0,-c)，(利用直角三角形斜边中线等于斜边一半)
则AF2中点坐标为(c/2,±c/2)
∵中点在双曲线上，b²=c²-a²
∴(c/2)²/a²-(±c/2)²/(c²-a²)=1
c²/a²-c²/(c²-a²)=4
令e=c/a，得e²-e²/(e²-1)=4
即e⁴-6e²+4=0
即e²=3±√5
又∵e>1
∴e²=3+√5=(6+2√5)/2=(1²+2√5+(√5)²)/2=(1+√5)²/2
则e=±(1+√5)/√2=±(√2+√10)/2
又∵e>0
∴c/a=(√2+√10)/2