Question

一个二次函数的图像与x轴交与A（-1，0）、B（4，0）两点，与Y轴交于点C在x轴下方，且△ABC是一个等腰三角

一个二次函数的图像与x轴交与A（-1，0）、B（4，0）两点，与Y轴交于点C在x轴下方，且△ABC是一个等腰三角形。
求点C的坐标
求这个二次函数的解析式
若x轴下方的这个二次函数的图像上有一点D（点D与点C不重合），是△ABD也是等腰三角形，求点D的坐标

我看你解答过这个问题的 上面两小题我都会了，第三小题怎么做啊？

Answer 1

这个题需要讨论，分多种情况进行分析求解。几何题一般要画出图形分析，这里我就不画了，你在草稿纸上进行对照。
解：设二次函数的表达式为：y=a(x+1)(x-4) 题目中△ABC是一个等腰三角形需要考虑两种情形：
1.AC=AB 此时AC=5 由勾股定理可求得C点的纵坐标为-2√6，C点坐标（0，-2√6） 将C点坐标代入函数表达式求得二次函数的表达式为：y1=√6/2(x+1)(x-4)
2.AB=BC 此时BC=5 由勾股定理求得C点纵坐标为-3，C点坐标为（0，-3） 故二次函数表达式求得为：y2=3/4(x+1)(x-4)
第三问：对于二次函数为y1=√6/2(x+1)(x-4)
分三种情形考察D点：
1.AB边作为等腰三角形的底边 这种情况较简单 D点明显位于抛物线的最低点处 D点坐标为（3/2，25√6/8）
2.AB=AD（这是其实C点满足D点的条件，但也应该严密地解答以防漏解） 由于AD=5，此时可通过以点A为中心半径为5的圆，方程为：（x+1)^2+y^2=25,与抛物线相交建立方程组来求得D点，即：（x+1)^2+y^2=25........1 y1=√6/2(x+1)(x-4)........2 不过很不幸，这种方法解方程很复杂 所以放弃。 设D点坐标为：(x,y) 设BD中点为Q 根据解析几何的知识，可以由AQ与BD垂直 建立kAQ*kBD=-1的方程 然后与抛物线方程联立，具体如下
由A，B及D坐标 得Q坐标为（2+x/2,y/2) 进一步kAQ=y/(6+x),kBD=y/(x-4)
所以有方程： （ y/(6+x)）*（ y/(x-4)）=-1.............1 y1=√6/2(x+1)(x-4)........2 联立可得：
（6+x)*(x-4)+3/2*(x+1)^2*(x-4)^2=0 化简为6+x+ 3/2*(x+1)^2*(x-4)=0 ( x1=4),再化简可得：3/2*x^2-3x-19/2=0 x2=0 解一元二次方程得：x3=(3+√237)/3,x4=(3- √237)/3 由于D点位于x轴下方 故此两解均不符要求. 综上 此种情形下不存在D点 。
3.AB=BD 也是利用上面提到过的两种方法了 计算过程很复杂 就这样吧 希望对你有些帮助。

Answer 2

解:设这个二次函数的解析式为y=a(x-b)²+c
△ABC是一个等腰三角形
①AD=BD
D(X1,Y1)
X1=1.5
Y1=c=-3
D(1.5,-3)

Answer 3

那我只说第三问了，第一种是C关于对称轴的对称点
第2种在对称轴上

Answer 4

三角形ABC,AB=BC
三角形ABD,AD=BD，即点D的x值是3/2

Answer 5

三角形ABC,AB=BC
三角形ABD,AD=BD，即点D的x值是3/2