Question

速求！过程！设函数f(x)=cos²x+asinx-a/4-1/2,(1)当0≤x≤π／2时，用a表示f(x)的最大值M(a)

(2)当M(a)=2时，求a的值，并对此a值求f(x)的最小值

Answer 1

（1）f(x)=1-2(sinx)^2 +asinx -(a/4) -(1/2)
=-2(sinx)^2+asinx-(a/4)+(1/2)
=-2[(sinx)- a/4]^2 +(a^2)/8 -(a/4)+(1/2)
当0≤x≤π/2时，0≤sinx≤1
若a/4<0，即a<0时，则M(a)={f(x)}max=f(0)=-(a/4)+(1/2)
若0≤a/4≤1，即0≤a≤4时，则M(a)=f(arcsin(a/4))=(a^2)/8 -(a/4)+(1/2)
若a/4>1，即a>4时，则M(a)=f(π/2)=(3/4)a-(3/2)
综上所述 -0.25a+0.5，a<0
∴ { 0.125(a^2)-0.25a+0.5，0≤a≤4
M(a) =
{ 0.75a-1.5， a>4

（2）若a<0，则M(a)=2解得a=-6，此时{f(x)}min=f(π/2)=(3/4)(-6)-(3/2)=-6
若0≤a≤4，则M(a)=2解得a=1±√13，但1-√13<0，1+√13>4都不满足前提，
故此情况下没有满足要求的a
若a>4，则M(a)=2解得a=14/3，此时{f(x)}min=f(0)=-(14/3/4)+(1/2)=-2/3

∴综上所述M(a)=2时，a有2种可能的取值：
a=-6，对应{f(x)}min=-6
a=14/3，对应{f(x)}min=-2/3