Question

如图,已知△ABC中,∠A=40°,∠ABC和∠ACD的平分线BA1,CA1交于点A1;∠A1BC的平分线和∠A1CD的平分线交于点A

（1）求∠A1和∠A2的度数
（2）如果依次继续画一个内角和一个外角的平分线，第n次的交点记为An,那么∠An是多少度？（用含n的代数式表示）

Answer 1

角A1 = 180 - 角A1BC - 角A1CB
= 180 - 1/2 * 角ABC - (角ACB + 1/2 * 角ACD)
= 180 - 1/2 * 角ABC - 角ACB - 1/2 * (角A + 角ABC)
= 180 - 角ABC - 角ACB - 1/2 * 角A
因为角ABC+角ACB+角A = 180度
所以角A1 = 1/2 角A = 20度

同理，
角A2 = 180 - 角A2BC - 角A2CB
= 180 - 1/4 * 角ABC - (角ACB + 3/4 * 角ACD)
= 180 - 1/4 * 角ABC - 角ACB - 3/4 * 角ABC - 3/4 * 角A
= 1/4 角A = 10度

所以可以发现
角An = 1/2^n * 角A
就是2的n次方分之一倍的角A，也就是40/(2^n)度。