Question

已知函数f(x)=cos^2(x+π/12)+sinxcosx.(1)求f(x)的最小正周期和图像的对称中心；（2）....要解题过程！

已知函数f(x)=cos^2(x+π/12)+sinxcosx。
(1)求f(x)的最小正周期和图像的对称中心；
(2)若存在X0∈【-π/4，π/2】使得不等式f(X0)<m成立，求m的取值范围。

Answer 1

f(x)=cos²(x＋π/12)＋sinxcosx=(1/2){cos[2(x＋π/12)]＋1}＋(1/2)sin2x=(1/2)[cos(2x＋π/6)＋sin2x]＋1/2=(1/2){[(√3/2)cos2x－(1/2)sin2x]＋sin2x}＋1/2=(1/2)[(√3/2)cos2x＋(1/2)sin2x]＋1/2=(1/2)cos(2x－π/6)＋1/2。
1、最小正周期为2π/2=π，图像的对称中心的横坐标为2x－π/6=kπ＋π/2，解得x=kπ/2＋π/3，其中k为整数，即对称中心为(kπ/2＋π/3，0)；
2、m只需大于函数f(x)在区间[－π/4，π/2]上的最小值即可(此问题是“存在”，即只要有就可以了，而不是恒成立)，此时有－2π/3≤2x－π/6≤5π/6，最小值为－√3/2，所以m>－√3/2。