Question

已知二次函数y=f(x)的图像经过坐标原点,其导数为f'(x)=6x-2.

数列{an}的前n项和为Sn,点（n,Sn)(n属于N)均在函数y=f(x)的图像上。
（1）求数列{an}的通项公式
（2）设bn=2/ana(n+1),Tn是数列{bn}的前n项和，求Tn的表达式

Answer 1

解：（1）因为f'(x)=6x-2从而f（x）=3x^2-2x+c
又y=f(x)的图像经过坐标原点，从而c=0，即f（x）=3x^2-2x
所以Sn=3n^2-2n，an=Sn-Sn-1=6n-5
（2）bn=2/[（6n-5）*(6n+1)]=1/3[1/(6n-5)-1/(6n+1)]=1/3[1/an-1/a(n+1)]
从而Tn=b1+b2+.....+bn=1/3[1/a1-1/a（n+1）]=2n/(6n+1)

Answer 2

解:(1)设该二次函数为f(x)=ax2+bx(a≠0),则=2ax+b,

由于=6x-2,得

a=3,b=-2,所以f(x)=3x2-2x.

又因为点(n,Sn)(n∈N*)均在函数y=f(x)的图象上，

所以Sn=3n2-2n.

当n≥2时，an=Sn-Sn-1=(3n2-2n)-〔3(n-1)2-2(n-1)〕=6n-5.

当n=1时，a1=S1=3×12-2=6×1-5，所以，an=6n-5(n∈N*).

(2)由(1)得bn=.

故Tn=.

因此，要使(1-)＜(n∈N*)成立的m,必须且仅需满足≤，即m≥10，所以满足要求的最小正整数m为10.

Answer 3

高中没有学积分吧？
①二次函数过原点，设为f(x)=ax²+bx
f'(x)=2ax+b=6x-2
所以a=3，b=-2
f(x)=3x²-2x
Sn=3n²-2n
S(n+1)=3(n+1)²-2(n+1)
a(n+1)=S(n+1)-Sn=6n+1
所以an=6n-5
②bn=2/ana(n+1)=2/(6n-5)(6n+1)=[1/(6n-5)-1/(6n+1)]/3
∴Tn=[1-1/7+1/7-1/13+1/13-1/19+...+1/(6n-5)-1/(6n+1)]/3
=[1-1/(6n+1)]/3<m/20
∴m>20[1-1/(6n+1)]/3
对于任意n∈N*，有20[1-1/(6n+1)]/3<20/3
∴m>20/3
所以m=7