Question

已知函数f(x)=lnx-ax+1 (1)求函数f(x)的单调区间

（2)若f(x)≤0恒成立，试确定实数a的取值范围
（3）证明：Ln[2·3·4·......·（n+1)]^2≤n(n+1)(n属于年N,n>1)

Answer 1

1)f(x)定义域为(0,+∞)
f'(x)=-a+1/x
①当a≤0时,f'(x)>0恒成立
所以f(x)在(0,+∞)上单调递增
②当a>0时,令f'(x)=0,得x=1/a
当x∈(0,1/a)时,f'(x)>0.f(x)单调递增
当x∈(1,+∞)时,f'(x)<0,f(x)单调递减
综上,当a≤0时,f(x)的单调增区间是(0,+∞)
当a>0时,f(x)的单调增区间是(0,1/a),单调减区间是(1,+∞)

2.f(x)≤0恒成立<=>lnx+1≤ax恒成立<=>a≥(lnx+1)/x恒成立
记g(x)=(lnx+1)/x (x>0)
则g'(x)=-lnx/x²
令g'(x)=0,得x=1
当x∈(0,1)时,g'(x)>0,g(x)单调递增;当x∈(1,+∞)时,g'(x)<0,g(x)单调递减
所以g(x)≤g(1)=1
所以要使a≥(lnx+1)/x恒成立,只需a≥1
即a的范围是[1,+∞)

3.令a=1.由(2)知此时f(x)≤0恒成立.仅当x=1时取等号
当x>1时,有f(x)<0恒成立
即lnx<x-1恒成立
令x=n+1 (n≥1),则ln(n+1)<n恒成立
所以ln2+ln3+…+ln(n+1)<1+2+…+n=n(n+1)/2
<=>2ln[2·3·…·(n+1)]<n(n+1)
即ln[2·3·…·(n+1)]²<n(n+1)

= =应该没有等号吧..你是不是打错题目了

Answer 2

f(x)的导数等于1/x-a
令1/x-a=0,得：x=1/a
当a>0时，f(x)在（0，a）上是增函数，在(1/a,+oo)上是减函数。
当a<0时，f(x)在（0，+oo）上是增函数。