Question

问个高一的数学题。。。

1.偶函数f(x)在[0，+∞）上单调递增，满足f(2x-1)＜f(1/3)的x的取值范围？

2.f(x)为定义域在R上的奇函数，x＞0时，f(x)=2^x -3,求f(-2)

3.f(x)=(ax+b)/(1+x2)为定义域在（-1,1）上的奇函数，且f(1/2)=2/5，求f(x)并证明f(x)在 （-1,1）上是增函数，并求f（t-1）+f(t)＜0的解。

Answer 1

1、
由f(x)为偶函数，知f(1/3)=f(-1/3)
即f(2x-1)必需还要大于f(-1/3)才能保证图像在y轴左边的部分也满足条件
f(-1/3)<f(2x-1)<f(1/3)
由增函数有
-1/3<2x-1<1/3
2/3<2x<4/3
1/3<x<2/3

2、
由奇函数 知 f(x)= -f(-x)
令-x>0 则
f(-x)=2^-x -3.
则-f(-x)= -2^-x +3
则整个分段函数是
f(x)=2^x -3 ... x>0 -2^-x +3 .....x≤0
那么f(-2)=-2^2 +3 = -1

3、
由于奇函数不含常数项，故一定有 f(0)=0
即f(x) 分子为0 即a×0+b=0 得b=0
由f(1/2)=2/5 有
0.5a/(1+0.25)=0.4
得a=1
故 f(x)=x/(1+x²)

(-1,1)上任取 -1<x1<x2<1
则f(x1)-f(x2)=
x1/(1+x1²) - x2/(1+x2²)
[x1(1+x2²)-x2(1+x1²)] / [(1+x1²)(1+x2²)]
(x1+x1x2² -x2-x2x1²) /[(1+x1²)(1+x2²)]
[x1x2(x2-x1)+ x1-x2 ] /[(1+x1²)(1+x2²)]
(x2-x1)(x1x2-1)/[(1+x1²)(1+x2²)]
所以(x2-x1)，(1+x1²)，(1+x2²)均大于0 ， (x1x2 - 1)小于0
故f(x1)<f(x2)
因此，f(x)在(-1,1)上位增函数

f（t-1）+f(t)＜0
f(t-1)<-f(t)
f(t-1)<f(-t)
那么
-1<f(t-1)<f(-t)<1
-1<t-1<-t<1
分开三部分来解， 分别解得 t>0 t<1/2 t>-1
取交集得 0<t<1/2

Answer 2

1.解：因为f(x)在[0，+∞）上单调递增，所以在（-∞，0）上是单调递减（偶函数关于y轴对称）
所以由f(2x-1)＜f(1/3)得 -1/3<2x-1<1/3 解得 1/3<x<2/3
2.因为f(x)为定义域在R上的奇函数（奇函数关于原点对称）， 所以
f(-2)=-f（2）=-(2^2 -3)=-1
3.因为f（x）是奇函数，所以f（0）=0，所以b=0，又f(1/2)=2/5，所以a=8/5
最后一题感觉不太对劲 就没做了 你看着办吧

Answer 3

1.0≤2X-1,<1/3 解出来就行
2.F（X）是奇函数 F(-2)=-F(2) 把2带入这个式子，-f(x)=2^x -3 解答出答案
3，f(1/2)=2/5 f(-1/2)=-2/5 代入.f(x)=(ax+b)/(1+x2) 方程 解除a b

Answer 4

1:（1/3，2/3）
2：-1
3：b=0,a=1......证明略、可以设两个数在（-1,1）之间，用f(x)相减。。。t的范围是：（0,1\2）
回答完成！

Answer 5

0<2x-1<1/3 所以 1/2<x<2/3

f(-x)=-f(x), f(-2)=-f(2)=-2^2+3=-1;

奇函数一定有f(0)=0; 可得。b=0; 再由f(1/2)=2/5;得。 a=1; 自己写出f(x);