Question

关于椭圆和双曲线，

（1） 当0<a<1，方程ax平方+y平方表示的曲线是（）？
A圆 B焦点在X轴上的椭圆 C焦点在Y轴的椭圆 D双曲线
（2） 椭圆的中心在原点，有一个焦点F（o,-1）,它的离心率是方程2X平方-5X+2=0的一个根，椭圆的方程是——————————。
（3） 以椭圆短轴为直径的圆经过次椭圆的焦点，则椭圆的离心率是——————。
（4） 椭圆短轴的一个端点看长轴两端点的视角为120°，则这个椭圆的离心率是——————。
（5） 已知F1、F2是椭圆X平方/4 +y平方=1的两个焦点，P是该椭圆上的一个动点，求|PF1|*|PF2|的最大值——————。
设F1、F2分别为椭圆C:X平方/a平方平方+Y/b平方=1（a>b>0）的左、右两个焦点， （1）若椭圆C上的点A（1，3/2）到F1,F2两点的距离之和等于4，写出椭圆C的方程； （2）设K是（1）中所得椭圆的动点，求线段F1K的中点的轨迹方程；

Answer 1

（1） 当0<a<1，方程ax平方+y平方表示的曲线是（）？
A圆 B焦点在X轴上的椭圆 C焦点在Y轴的椭圆 D双曲线
Ax^2+y^2=1, 选择B

（2） 椭圆的中心在原点，有一个焦点F（o,-1）,它的离心率是方程2X平方-5X+2=0的一个根，椭圆的方程是——————————。
2X^2-5X+2=0==>x1=2,x2=1/2
∴e=1/2==>c=2a==>a=2==>b^2=a^2-c^2=3
∴x^2/3+y^2/4=1
（3） 以椭圆短轴为直径的圆经过次椭圆的焦点，则椭圆的离心率是——————。
由题意b=c
A^2=b^2+c^2=2c^2,∴e=c/a=c/√2c=√2/2
（4） 椭圆短轴的一个端点看长轴两端点的视角为120°，则这个椭圆的离心率是——————。
由题意tan60°=a/b==>a=√3b
∴c=√(3b^2-b^2)= √2b
∴e=c/a=√6/3
（5） 已知F1、F2是椭圆X平方/4 +y平方=1的两个焦点，P是该椭圆上的一个动点，求|PF1|*|PF2|的最大值——————。
椭圆X^2/4 +y^2=1
|PF1|+|PF2|=4==>|PF1|=4-|PF2|
|PF1|*|PF2|=(4-|PF2|)|PF2|=-|PF2|^2+4|PF2|=(|PF2|-2)^2+4
∴|PF1|*|PF2|的最大值4
设F1、F2分别为椭圆C:X平方/a平方平方+Y/b平方=1（a>b>0）的左、右两个焦点，（1）若椭圆C上的点A（1，3/2）到F1,F2两点的距离之和等于4，写出椭圆C的方程；（2）设K是（1）中所得椭圆的动点，求线段F1K的中点的轨迹方程；
(1)解析：∵椭圆C:X^2/a^2+Y^2/b^2=1（a>b>0）, |AF1|+|AF2|=4,A(1,3/2)
∴√[(1+c)^2+(3/2)^2]+√[(1-c)^2+(3/2)^2]=4，解得c=1
A=2==a^2=4,b^2=3
∴椭圆C的方程X^2/4+Y^2/3=1
(2)解析：K(x0,y0), 线段F1K的中点P(x,y),F1(-1,0)
2x=x0-1==>x0=2x+1,2y=y0/2==>y0=4y
∴(2x+1)^2/4+16y^2/3=1
线段F1K的中点的轨迹方程为(x+1/2)^2+y^2/(3/16)=1