Question

在⊿ABC中，sinA=2sinBcosC,且(a+b+c)/(b+c-a)=3b/c，则⊿ABC形状为什么

给详细过程 不要像以下答案：
“老题目了。等边三角形 sinA=2sinBcosC 得B=C (a+b+c)/(b+c-a)=3b/c 余弦定理 B=60”

Answer 1

已知sinA=2sinBcosC
因为2sinBcosC=2sinBcos(π-A-B)=-2sinBcos（A+B）=-sin（A+2B）+sinA
所以sinA=-sin（A+2B）+sinA 推出-sin（A+2B）=0
所以(A+2B)=180度 所以B=C则b=c
已知(a+b+c)/(b+c-a)=3b/c
所以(a+b+c)/(b+c-a)=（a+2b）/(2b-a)=3
解得a=b
即a=b=c 所以三角形为等边三角形

Answer 2

A+B+C=π，
A=π-(B+C)，
sinA=sin[π-(B+C)]=sin(B+C)=sinB*cosC+cosB*sinC，
又sinA=2sinBcosC，
所以sinB*cosC+cosB*sinC=2sinBcosC，
sinB*cosC-cosB*sinC=0，
sin(B-C)=0，
B-C=0，
B=C，
所以b=c，
又(a+b+c)/(b+c-a)=3b/c，
(a+2b)/(2b-a)=3，
a+2b=6b-3a，
4a=4b，
a=b，
所以a=b=c。
所以⊿ABC为等边三角形。