Question

求助大家数学题，万分感谢~

X^3 -3ax+2=0,何时有三个不同的实根？何时有唯一实根？
非常感谢！

Answer 1

鉴于楼主的题目：为了不混淆将式子中的a改为a’ ，标准化的三次一元式：ax³+bx²+cx+d=0
在题目中：a=1，b=0，c=-3a‘，d=2
∴A=b²-3ac=9a’，B=bc-9ad=-18，C=c²-3ab=9a‘²
△=B²-4AC=324-324a‘²
△＞0时，有一个实根，此时a’（-1，1）
△＜0时，有三个不同实根，此时a‘＜-1或a‘＞1
参考资料：
盛金公式
Shengjin’s Formulas

一元三次方程aX＾3＋bX＾2＋cX＋d=0，（a，b，c，d∈R，且a≠0）。
重根判别式：
A=b＾2－3ac；
B=bc－9ad；
C=c＾2－3bd，
总判别式：
Δ=B＾2－4AC

①：当A=B=0时，方程有一个三重实根；
②：当Δ=B＾2－4AC>0时，方程有一个实根和一对共轭虚根；
③：当Δ=B＾2－4AC=0时，方程有三个实根，其中有一个两重根；
④：当Δ=B＾2－4AC<0时，方程有三个不相等的实根。
参考资料：http://zhidao.baidu.com/question/90687810.html?si=1
http://zhidao.baidu.com/question/99549972.html?si=1

Answer 2

令f(x)=X^3 -3ax+2,则f'(x)=3x^2-3a=0,∴x^2=a>=0,x=正负根号a,
f(x)max=f(-根号a),
f(x)min=f(根号a)
当 f(x)max=f(-根号a)>0，且f(x)min=f(根号a)<0时，X^3 -3ax+2=0,何时有三个不同的实根，
当f(x)min=f(x)max时，X^3 -3ax+2=0有唯一实根
根据上述条件求出a即可。

Answer 3

令f(x)=X^3 -3ax+2,则f'(x)=3x^2-3a=0,∴x^2=a>=0,x=正负根号a,
f(x)max=f(-根号a),
f(x)min=f(根号a)
当 f(x)max=f(-根号a)>0，且f(x)min=f(根号a)<0时，X^3 -3ax+2=0,何时有三个不同的实根，
当f(x)min=f(x)max时，X^3 -3ax+2=0有唯一实根