Question

如何求这个数列的极限？

X1=根号2. X(n+1)^2=2+Xn , 求极限。。
谢谢~~~

Answer 1

设f(x)=根号(x+2) <-构造函数使 f(x(n))=x(n+1)
f(x)满足:
1）f(x)连续，且在(-2,+无穷)可导
2）对x属于[-1,+无穷)，|f'(x)|<1
3） f(x1)属于[-1,+无穷)
所以在[-1,+无穷]存在唯一点，使得f(x)=x，即x=2
所以极限为2
可用计算器或者图像验证。
其实，可以证明对任意x1属于(-3/2,+无穷), 极限都是2

Answer 2

可由归纳法得知，该数列是一个单调递增数列；
该数列也是有解数列。
设极限为u，即：
lim Xn = u
n→∞
lim Xn+1 = u
n→∞
所以：u² = 2 + u
u² - u - 2 = 0
(u-2)(u+1) = 0
u = 1 舍去
所以 u = 2
答案：极限为2。

Answer 3

先证明极限存在，显然xn<2,{xn}单增，由单调有界函数极限收敛知limxn存在
设limxn=t,则t^2=2+t
t=limxn=2(limxn=-1舍去）

Answer 4

那个平方是什么意思？是整个平方还是就括号平方？