Question

导数求解 f(x)=2ax-a^2+1/x^2+1 ,当a≠0时，求 f(x)的单调区间与极值

这种题要讨论的好多哦，有什么好的解题思路吗？？
分子是2ax-a^2+1 分母是 x^2+1 ,

Answer 1

导数求解 f(x)=(2ax-a^2+1)/(x^2+1) ,当a≠0时，求 f(x)的单调区间与极值
解析：∵f(x)=(2ax-a^2+1)/(x^2+1)
令f’(x)=(-2ax^2+2(a^2-1)x+2a)/(x^2+1)^2=0
ax^2-(a^2-1)x-a=0
x1=[(a^2-1)-(a^2+1)]/(2a)=-1/(2a)
x2=[(a^2-1)+(a^2+1)]/(2a)=a
当a<0时，x2<x1，-2ax^2+2(a^2-1)x+2a为开口向上的抛物线，函数f(x)在x1处取极小值，
f(x1)=-4a^4/(4a^2+1)，在x2处取极大值f(x2)=1；
x∈(-∞,a)，函数f(x)单调增，x∈(a，-1/(2a))，函数f(x)单调减，x∈(-1/(2a)，+∞)，函数f(x)单调增；
当a>0时，x1<x2，-2ax^2+2(a^2-1)x+2a为开口向下的抛物线，函数f(x)在x1处取极小值f(x1)=-4a^4/(4a^2+1)，在x2处取极大值f(x2)=1；
x∈(-∞, -1/(2a))，函数f(x)单调减，x∈(-1/(2a)，a)，函数f(x)单调增，x∈(a，+∞)，函数f(x)单调减；

Answer 2

先求导得：f`(x)=[-2ax^2+(2a^2-2)x+2a]/(x^2+1)^2；
解方程f`(x)=0得：x1=a；x2=-1/a；
因为导函数的分母恒大于0，所以只需考虑导函数分子的正负即可。
当a>0时，x在(-∞，－1/a)，（a，＋∞）这两个区间内时f`(x）＜0，所以这两个区间为减区间；
x∈(－1/a ，a）时f′(x)＞0所以这个区间为增区间。
所以f(x)在x=－1/a时取得极小值－a^2，在x=a时取得极大值1。
当a<0时，x在(-∞，a)，（－1/a，＋∞）这两个区间内时f`(x）>0，所以这两个区间为增区间；
x∈( a，－1/a）时f′(x)＜0所以这个区间为减区间。
所以f(x)在x=a时取得极大值1，在x=－1/a时取得极小值－a^2。

Answer 3

分子和分母分别是什么

追问

？

Answer 4

第一种很容易想到的思路就是求导数了，不过这个导数貌似很麻烦啊
f'(x)=[-4ax^2+(2a^2+2a-2)x+2a]/[(x^2+1)^2]
讨论导函数和0的大小
第二种思路
原式=（2ax－a^2-x^2+x^2＋1)/(x^2＋1)
=-(a-x)^2/(x^2＋1) +1
函数x^2＋1在x∈（-∞，0）单调减
在x∈（0，+∞）单调减
函数-(x-a)^2在x∈（-∞，a）单调增
在x∈（a，+∞）单调减
∴当a＞0时 函数f(x)在x∈（-∞，0）单调减
函数f(x)在x∈（0，a)单调减
函数f(x)在x∈（a,-∞)单调增
当a＜0时 函数f(x)在x∈（-∞，a）单调减
函数f(x)在x∈（a，0)单调增
函数f(x)在x∈（0，+∞)单调增
当x=a时 函数f(x)存在极值为1

Answer 5

f'(x)=[2a(x^2+1)-(2ax-a^2+1)]/(x^2+1)^2
2ax^2-2ax+2a-a^2+1>0函数为增函数，a>0,x<x1=[1-根(2a-3-2/a)]/2或者x>x2=[1+根(2a-3-2/a)]/2为增函数，x1<x<x2,函数为减函数。a<0时，x<x1,x>x2为减函数，x1<x<x2为增函数。最后把单调性改变的那个点随便归入增区间或者减区间