Question

已知函数f(x)=（x+1）㏑x-x+1 若xf′(x)≤x²+ax+1求a的范围

Answer 1

f'(x)≤㏑x+ (x+1)/x - 1 = ㏑x + 1/x , xf'(x) = x㏑x + 1 ,
即 x㏑x + 1 ≤ x²+ax+1
整理得 ax >= x㏑x - x² ，有 ㏑x 所以 x>0
则 a>= ㏑x -x
另，求得 函数㏑x -x 在（0，1]上递增，在[1，无穷大）上递减，在点1处取得最大值 -1
故得，a>= -1

Answer 2

f(x)定义域为x＞0，

若xf′(x)≤x²+ax+1 即f`(x)≤x+a+1/x

f`(x)=(x+1)/x+lnx-1=1/x+lnx

所以1/x+lnx≤x+a+1/x

所以要想a≥lnx-x，设g(x)=lnx-x，g(x)`=1/x-1

当g(x)`＜0，解得x＞1，当g(x)`＞0，解得0＜x＜1，当g(x)`=0，解得x=1，

所以g(x)当x=1时最大，最大值为-1，所以lnx-x≤-1，即a≥-1

追问

证明：(x-1)f(x)≥0