Question

帮忙解一道数学概率题。O(∩_∩)O谢谢啦

一袋中装有N-1只黑球和1只白球，每次从袋中随机地摸出一球，并换入一只黑球，这样继续下去，问第k次摸球时，摸到黑球的概率是多少?
答案：1-（1-1/N）^(k-1) 1/N （提示：用对立事件求）

书上就是这样写的 希望会的人帮我解答一下 写下思路 谢谢！

Answer 1

此题的意思是：从摸出第一球开始，不管摸的是黑球还是白球，都换成黑球重新放回去，然后进行第二次操作，这样一直进行下去，问第k次摸到黑球的概率有多大？
这个题如果采用直接法，会相对烦琐，要分别将前面k-1次已经摸到了白球或者没有摸到白球的情况分成开来讨论，而且每种情况都要分步处理，所以采用间接方法来解答。
摸到黑球的概率=1-摸到白球的概率
第k次摸到白球的发生情况必须是：前面连续k-1次每次摸到的都是黑球，而第k次刚好把袋中唯一的白球摸了出来。
每次摸到黑球的概率都是（N-1）/N，而摸到白球的概率是1/N，所以第k次摸到白球的概率为：
(1/N)[(N-1)/N]^(k-1)
所以第k次摸到黑球的概率为1-（1-1/N）^(k-1) 1/N