Question

求证：直径是圆中最长的弦。

Answer 1

证明：设AB是园O中的任一直径，CD是圆内任意一条弦，由直径的定义知AB必过圆心O，连结OC,OD，则在三角形OCD中，由三角形任意两边之和大于第三边有OC+OD大于CD,而OC=OD=OA=OB=1/2AB，故AB大于CD。即直径是圆中最长的弦。

连接圆上任意两点的线段叫做弦，经过圆心的弦叫做直径，直径是一个圆里最长的弦。

相交弦定理证明：

证明：连结AC，BD，由圆周角定理的推论，得∠A＝∠D，∠C＝∠B。（圆周角推论2：同（等）弧所对圆周角相等．）∴△PAC∽△PDB，∴PA∶PD＝PC∶PB，PA·PB＝PC·PD。

注：其逆定理可作为证明圆的内接四边形的方法．P点若选在圆内任意一点中更具一般性。

Answer 2

证明：设AB是园O中的任一直径，CD是圆内任意一条弦，由直径的定义知AB必过圆心O，连结OC,OD，则在三角形OCD中，由三角形任意两边之和大于第三边有OC+OD大于CD,而OC=OD=OA=OB=1/2AB，故AB大于CD。即直径是圆中最长的弦。

直径的其他性质：同一个圆中直径的长度是半径的2倍，可以表示d=2r或r=d/2 。

证明：设有直径AB,根据直径的定义，圆心O在AB上。∵AO=BO=r，∴AB=2r

并且，在同一个圆中弦长为半径2倍的弦都是直径。即若线段d=2r（r是半径长度），那么d是直径。

反证法：假设AB不是直径，那么过点O作直径AB',根据上面的结论有AB'=2r=AB

∴∠ABB'=∠AB'B（等边对等角）

又∵AB'是直径，∴∠ABB'=90°（直径所对的圆周角是直角）

那么△ABB中就有两个直角，与内角和定理矛盾

∴假设不成立，AB是直径。

Answer 3

证明：设AB是园O中的任一直径，CD是圆内任意一条弦，由直径的定义知AB必过圆心O，连结OC,OD，则在三角形OCD中，由三角形任意两边之和大于第三边有OC+OD大于CD,而OC=OD=OA=OB=1/2AB，故AB大于CD。即直径是圆中最长的弦。

Answer 4

证明：设AB是园O中的任一直径，CD是圆内任意一条弦，由直径的定义知AB必过圆心O，连结OC,OD，则在三角形OCD中，由三角形任意两边之和大于第三边有OC+OD大于CD,而OC=OD=OA=OB=1/2AB，故AB大于CD。即直径是圆中最长的弦。