Question

因式分解难题

运用特殊值法分解因式
6x^2 -5xy +y^2 +17x -7y +12
分别当x=0，y=0时得到的结果为：
1. (2x+3)(3x+4)
2. (3-y)(4-y)
但分解因式的结果为(2x-y+3)(3x-y+4)
结果是如何组成的呢？？
为什么可以合并？？？
什么时候可以像这道题一样用特殊值法？

Answer 1

你要观察第1,2的结果，留意到2x+3跟3-y，这里面都有3，所以它们对应因式分解里面的同一项，3x+4跟4-y，这里面都有4.，它们对应因式分解的同一项，再把1,2两式子合并，去掉对应项里面相同的项就得出了，如2x+3跟3-y，它们是同一项，合并为2x+3+3-y，去掉相同项3就得出2x-y+3。

追问

为什么“对应因式分解里面的同一项”就能将+3合并，+4合并

追答

1,2是把x=0，y=0都是代入原来的因式分解出来的两项里得出来的，
x=0代入的效果使得这两项里面的含x的项都没了，剩下含y的项跟常数项
y=0代入的效果使得这两项里面的含y的项都没了，剩下含x的项跟常数项
所以常数项一样的是对应项，合并的时候就加多了一个常数项，需要去掉一个

追问

那么呢？
分别带入x=0，y=0都把-5xy弄没了，
结果为什么正确？

追答

这种方法是通过代入特殊值，观察结果，以推出原式因式分解的项，一般适宜计算量不大的时候使用，取值范围[-2,2]为计算量较小的区间。过程中出项某些项的消失不会影响结果。

Answer 2

用的降元法

追问

什么是降元法？结果如何使用的降元法？？

追答

就是令x=0,分解只含y 的(减少一个元，简称降元）
然后令y=0，分解只含x的
这种不一定可靠，要检查验证

Answer 3

解：因为6x^2 -5xy +y^2 +17x -7y +12
分别当x=0，原式=6x^2+17x +12=(2x+3)(3x+4) 用十字相乘
y=0时，原式=y^2 -7y +12=（3-y）（4-y）

所以，2x+(3-y)][（3x+(4-y）]=2x*3x+2x*(4-y)+(3-y)*3x+(3-y)(4-y)=.化简之后，刚好是原式
所以6x^2 -5xy +y^2 +17x -7y +12=(2x-y+3)(3x-y+4)

追问

我要的不是结果反推，我想问原因。
谢谢

Answer 4

可用待定系数法