Question

高二数学题。(求解答过程）

要使满足关于x的不等式2x^2-9x+a＜0(解集非空）的每一个x的值至少满足不等式x^2-4x+3＜0和x^2-6x+8＜0中的一个，求实数a 的取值范围

Answer 1

解：【1】分别解不等式：
x²-4x+3＜0和x²-6x+8＜0.
可得解集分别为(1,3)和(2,4).
∴区间(1,4)上的每一个实数x，至少满足上述两个不等式中的一个。
【2】由题设可知，不等式2x²-9x+a＜0.
一方面，其解集非空，∴⊿=81-8a＞0. ∴a＜81/8.
另一方面，其解集必是(1,4)的子集。
∴数形结合可知，
当x=1时，2x²-9x+a≥0.即有a≥7,同时，
当x=4时，2x²-9x+a≥0，即有a≥4
∴a≥7.
综上可知，a∈[7,81/8）.

Answer 2

解：这道题我们从问题的反面入手。设P：每一个x的值至少满足不等式x²-4x+3<0和x²-6x+8<0中的一个，则~P：每一个x的值都不满足上述任意一个不等式，即每一个都x使得x²-4x+3>=0和x²-6x+8>=0。从而解得~P：x>=4,x<=1。故P：1<x<4.因为满足不等式2x²-9x+a<0的x都能满足P，从而可知不等式2x²-9x+a<0的解集是满足P的x的集合的子集。解不等式2x²-9x+a<0得：[9-√(81-8a)]/4<x<[9+√(81-8a)]/4. 从而，[9-√(81-8a)]/4>=1, [9+√(81-8a)]/4<=4, 81-8a>=0,由该三式解得：7<=a<=81/8. 综上诉述，实数a的取值范围是[7，81/8]