Question

如图，二次函数y=ax的平方+bx+c（a≠0）的图像与x轴交于A，B两点，与y轴相交于点c

如图，二次函数y=ax的平方+bx+c（a≠0）的图像与x轴交于A，B两点，与y轴相交于点c.连接AC,BC,AC两点的坐标分别为A（-3，0）c（0，根号三），且当x=-4和x=2时二次函数的函数值y相等（1）求实数a，b，c的值（2）若点M。N同时从B点出发，均已每秒1各单位长度的速度分别沿BA,BC边运动，其中一个点到终点时，另一个点也随之停止运动。当运动时间为t秒时，连接MN，将△BMN翻折，B点恰好落在AC边上P处，求t的值级点p的坐标（3）在（2）的基础上，二次函数图像的对称轴上是否存在Q，使得B,N,Q为顶点的三角形与△ABC相似？如果存在，请求出Q的坐标，如果不存在，请说明理由。

Answer 1

（1）y(2)=4a+2b+c=y(-4)=16a-4b+c ①
点（-3，0）（0，根号3）代入函数得
9a-3b+c=0 ②
c=根号3 ③
解方程组得a=-√3/3 ,b=-2√3/3,c==√3
(2)已知函数y=-√3/3（x²+2x-3) 令y=0得B点坐标（1，0）
由题意得，BN=NP=PM=MB=t
又在△BMN中 tanB==√3,所以<B=60°，
首先求得AC直线函数 y=√3/3(x+3)
由正△BMN求N点坐标 另其坐标为(x0,y0)则
x0=-t/2+1 y0=√3t/2
故点P坐标为（-t/2+1-t, √3t/2)
同时因为点P在直线AC上 故满足
√3t/2==√3/3（-3t/2+4) 解方程得t=4/3
此时点P坐标为（-1，2√3/3）
（3）函数对称轴为x=-1，故可假设Q的坐标为（-1，k)
根据已知ABC三点坐标不难证明△ABC为直角三角形
△BNQ与△ABC相似，则可通过N或B做BC垂线段并使BQ==√3BN
可满足条件。当<BNQ=90°时，则点Q横坐标为1-8/3=-5/3不符条件；当<NBQ=90°时，NQ=2t=8/3,Q的坐标在NM延长线上且MQ=MN
Q的横坐标为-1/3-t/2=-1满足条件，此Q的纵坐标为-2√3/3，
故存在点Q（-1，-2√3/3)使得△BNQ与△ABC相似。

Answer 2

解：（1）∵C（0，3）在抛物线上
∴代入得c=3，
∵x=-4和x=2时二次函数的函数值y相等，
∴顶点横坐标x=-4+22=-1，
∴-
b2a=-1，
又∵A（-3，0）在抛物线上，
∴9a-3b+
3=0
由以上二式得a=-
33，b=-
2
33；

（2）由（1）y=-
33x2-
2
33x+
3=-
33(x-1)(x+3)
∴B（1，0），
连接BP交MN于点O1，根据折叠的性质可得：01也为PB中点．
设t秒后有M（1-t，0），N（1-　　t2，32t），O1(1-
34t，
34t)）
设P（x，y），B（1，0）
∵O1为P、B的中点可得1-
3t4=
1+x2，34t=
y2，即P（1-
3t2，
32t）
∵A，C点坐标知lAC：y=33x+
3，P点也在直线AC上代入得t=43，
即P（-1，
2
33）；

（3）假设成立；
①若有△ACB∽△QNB，则有∠ABC=∠QBN，
∴Q点在y轴上，AC∥QN但由题中A，C，Q，N坐标知直线的一次项系数为：KAC=
33≠KQN
则△ACB不与△QNB相似．
②若有△ACB∽△QBN，则有CBBN=
ABQN…（1）
设Q（-1，y），C（0，3），A（-3，0），B（1，0），N（13，
2
33）
则CB=2，AB=4，AC=23
代入（1）得243=
4(
43)2+(y-
2
33)2
y=23或-
2
33．
当y=23时有Q（-1，23）则QB=4⇒ACQB=
32≠
CBBN不满足相似舍去；
当y=-
2
33时有Q（-1，-
2
33）则QB=4
33⇒ACQB=
32=
CBBN．
∴存在点Q（-1，-
2
33）使△ACB∽△QBN．

Answer 3

解：（1）∵C（0，
3
）在抛物线上
∴代入得c=
3
，
∵x=-4和x=2时二次函数的函数值y相等，
∴顶点横坐标x=
-4+2
2
=-1，
∴-
b
2a
=-1，
又∵A（-3，0）在抛物线上，
∴9a-3b+
3
=0
由以上二式得a=-
3
3
，b=-
23
3
；
（2）由（1）y=-
3
3
x2-
23
3
x+
3
=-
3
3
(x-1)(x+3)
∴B（1，0），
连接BP交MN于点O1，根据折叠的性质可得：01也为PB中点．
设t秒后有M（1-t，0），N（1-
t
2
，
3
2
t），O1(1-
3
4
t，
3
4
t)）
设P（x，y），B（1，0）
∵O1为P、B的中点可得1-
3t
4
=
1+x
2
，
3
4
t=
y
2
，即P（1-
3t
2
，
3
2
t）
∵A，C点坐标知lAC：y=
3
3
x+
3
，P点也在直线AC上代入得t=
4
3
，
即P（-1，
23
3
）；
（3）假设成立；
①若有△ACB∽△QNB，则有∠ABC=∠QBN，
∴Q点在y轴上，AC∥QN但由题中A，C，Q，N坐标知直线的一次项系数为：KAC=
3
3
≠KQN
则△ACB不与△QNB相似．
②若有△ACB∽△QBN，则有
CB
BN
=
AB
QN
…（1）
设Q（-1，y），C（0，
3
），A（-3，0），B（1，0），N（
1
3
，
23
3
）
则CB=2，AB=4，AC=2
3
代入（1）得
2
43
=
4
(43)2+(y-233)2
y=2
3
或-
23
3
．
当y=2
3
时有Q（-1，2
3
）则QB=4⇒
AC
QB
=
3
2
≠
CB
BN
不满足相似舍去；
当y=-
23
3
时有Q（-1，-
23
3
）则QB=
43
3
⇒
AC
QB
=
3
2
=
CB
BN
．
∴存在点Q（-1，-
23
3 ）使△ACB∽△QBN．