Question

(X,d) 是度量空间。B(X) 是X上所有有界函数的集合。求证 (B(X),rou) 是完备空间（complett）。

Answer 1

what is rou?

追问

Rho

追答

Rho 是什么？ 泛函数？

追问

就是空间里的距离，定义为两个函数间的最大距离。

追答

我知道rho是空间里的距离，可我必须知道rho是怎么定义的。 否则无法证明(B(X),rho)是完备空间。因为同样的集合如果赋予不同的距离可能会拥有完全不同的性质你必须证明 每个柯西数列都是收敛的，并且界限也在B(X)中。也就是说 对于每个满足 rho(a_n,a_m)-->0的数列都要拥有一个极限a属于B(X). 所以必须知道rho的定义， 否则无法检验 rho(a_n,a_m)-->0。

追问

Rho的定义就是在B(X)里两个函数间的sup。
只能用定义证complett么？谢谢

追答

"在B(X)里两个函数间的sup"： 这就是无穷泛数的定义：rho(f,g)=sup|f(t)-g(t)|。那么你想想， 如果f_n是B(X)中的柯西数列，就意味着 sup|f_n(t)-f_m(t)|-->0 。 sup|f_n(t)-f_m(t)|属于正实数，而我们知道实数时完备空间。用三角不等式我们知道
|sup|fn(t)|-sup|fm(t)||0, 这又意味着什么？
这道题目的具体证明你可以先按照我在上面的回答中提到的思路想一想。如果想不出来可以继续追问，我会把正确答案告诉你。

追问

意味着f_n是convergent？

追答

对的，现在已知f_n是收敛的 设f=lim f_n. 现在还需证明f属于B(X). 就行了。