Question

一道初三数学题目

如图，已知抛物线y=-x²+2x+1-m与x轴相交于A、B两点，与y轴相交于点C，其中点C的坐标是（0,3），顶点为点D，联结CD，抛物线的对称轴与x轴相交于点E。
（1）求m的值
（2）求∠CDE的度数
（3）在抛物线对称轴的右侧部分上是否存在一点P，使得△PDC是等腰三角形？如果存在，求出符合条件的点P的坐标；如果不存在，请说明理由

Answer 1

（1）已知抛物线y=-x²+2x+1-m，
所以设x为0，那么y=1-m
因为此抛物线与y轴的交点为（0,3）
所以1-m=3，m=-2
（2）抛物线y=-x²+2x+3，所以定点D（1,4）
过C做垂线交对称轴于H
CH=OE=1 而 DH=DE-EH 又EH=OC=3
所以 DH=4-3=1
因为直角三角形CHD CH=DH=1
所以等腰直角三角形CHD
所以 ∠CDE=45°
（3）存在
延长CH交抛物线右半支于P点，连接DP
因为对称轴垂直于CP 又因为抛物线图像关于对称轴对称
所以CH=HP=1 等腰三角形CDP
P的横坐标为x=CH+HP=2
纵坐标等于OC的长=3
所以P(2,3)