Question

初中数学竞赛题

如图，对称轴为直线x＝ 的抛物线过点A（6，0）和B（0，4）。
（1）求抛物线解析式及定点坐标；
（2）设点E（x，y）是抛物线上一动点，且位于第四象限，四边形OEAF是以OA为对角线的平行四边形。求 OEAF的面积S与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
①当 OEAF的面积为24时，请判断 OEAF是否为菱形？
②是否存在点E，使 OEAF为正方形？若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由

Answer 1

（1）设抛物线的解析式为y=aX2+bx+c，由抛物线的对称轴为x=7/2且抛物线过点A（6,0）和点B（0,4）可知：-b/2a=7/2，36a+6b+c=0，c=4
解得：a=2/3，b=-14/3，c=4
因此抛物线的解析式为y=（2/3）x2-（14/3）x+4
设抛物线的顶点坐标为（x1,y1）由抛物线的对称轴为x=7/2可知，x1=7/2
当x1=7/2时，y1=（2/3）*7/2*7/2-（14/3）*7/2+4 =-25/6
（2）过点E做EG垂直x轴于点G，设抛物线与x轴的另一交点为M(x2,y2)
因为抛物线y=（2/3）x2-（14/3）x+4 ，所以E点的纵坐标y=（2/3）x2-（14/3）x+4
因为E点位于第四象限y<0，所以EG=（14/3）x-（2/3）x2-4
因为四边形OEAF是以OA为对角线的平行四边形
所以S=2S△OEA=2*(1/2)*6*EG=6*[（14/3）x-（2/3）x2-4]=28x-4x2-24
当y=0时，（2/3）x2-（14/3）x+4=0
解得x1=6，x2=1。即M点坐标为（1，0）因为点E（x，y）是抛物线上一动点且位于第四象限，所以x的取值范围为1<x<6
综上OEAF的面积S与x之间的函数关系式为S=28x-4x2-24（1<x<6）
①当S=24时，28x-4x2-24=24，解得x1=3，x2=4
当x=3时，E点纵坐标y=-4
因此OG=AG=3，EG=4 根据勾股定理OE=EA=5
四边形OEAF平行四边形且OE=EA，所以四边形OEAF是菱形（一组邻边相等的平行四边形为菱形）
同理可证当x=4时，OE不等于EA所以四边形OEAF不是菱形
②当E点坐标为（x，y）时，EG=-y，OG=x，AG=6-x
根据勾股定理OE2=x2+y2 AE2=(6-x)2+y2
若四边形OEAF为正方形则有OE垂直AE，即x2+y2+(6-x)2+y2=OA2=36
计算得y=-√(6x-x2)
因为E点是抛物线上一动点y=（2/3）x2-（14/3）x+4与y=-√(6x-x2)相矛盾
所以不存在这样的点E使 OEAF为正方形
（注x2为x的平方，OE2为OE的平方）
仅供参考

Answer 2

不难嘛，仔细想，不要一遇到问题就问人。多想，多练习。加油！！！！！！