Question

高中数学题一道

已知正方形ABCD的中心O(1,1)，一个顶点A(2,3)
1.求另外三个顶点B,C,D的坐标

Answer 1

设C(x，y)，则：向量OC=(x-1，y-1)，
A(2，3)，所以向量OA=(1，2)，
由题意知：向量OC=-向量OA，
所以(x-1，y-1)=-(1，2)=(-1，-2)，
所以x-1=-1，y-1=-2，
x=0，y=-1，
故C(0，-1)；
设B(x，y)，则：向量OB=(x-1，y-1)，
由题意知：向量OC*向量OA=0，且|OC|=|OA|
所以(x-1)+2(y-1)=0，√[(x-1)^2+(y-1)^2]=√(1^2+2^2)，
解方程组，得：x=-1，y=2；或x=3，y=0，
所以B(-1，2)，或B(3，0)，
因为D与B是关于直线AC的对称点，
所以D(3，0)，或D(-1，2)，
故所求另外三个顶点B,C,D的坐标为：(-1，2)，(0，-1)，(3，0)。

追问

由题意知：向量OC*向量OA=0，且|OC|=|OA|
所以(x-1)+2(y-1)=0，√[(x-1)^2+(y-1)^2]=√(1^2+2^2)
这步看不懂呢

追答

向量OC与向量OA垂直，且模相等，
由向量互相垂直的充要条件，知：x1*x2+y1*y2=0，
向量的模公式：a=(x,y) |a|=√(x^2+y^2)

ps：此题的解法有很多，如：利用中点坐标公式；
利用四点共圆，写出圆的方程，直线AC，BD的方程，解方程组。
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Answer 2

（0，3）（0，-1）（2，-1）

Answer 3

先求出来A的对顶点的点，用中点坐标公式，很好求出来是（0，-1），根据两点式求出来AO的方程，和另一条对角线的方程，设出来另点坐标是（x，y），满足在另一条对角线的方程，根据点到直线的距离公式等于OA的长度，能求出来另外两个点，应该是（3,0）和（-1,2）

Answer 4

根据中点坐标公式，按照逆时针顺序，B(-1,2)，C(0,-1) ,D(3,0)

Answer 5

建立坐标系，连接AO，BD,在正方形ABCD中，AO垂直于BD，由O(1,1)和A(2,3)可知过AO的直线方程为y=2x-1.由AO=CO可求出C点坐标（0，-1）.直线BD的斜率为-1/2，由O(1,1)可知直线BD方程为y=-1/2x+3，设B(x1,y1)D(x2,y2),则（x1+x2)/2=1,(y1+y2)/2=1.