Question

已知三角形ABC中，角A.B.C所对的边分别为a,b,c,且a+c=根号2b,(1)求tanA/2tanC/2

(2)求证2/tanB/2=1/tanA+1/tanc

Answer 1

1.解：由正弦定理知：
a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R
a=sinA·2R
b=sinB·2R
c=sinC·2R
而a+c=√2b
即sinA·2R+sinC·2R=√2sinB·2R
∴sinA+sinC=√2sinB
∵π-B=A+c
∴sinB=sin(π-B)=sin(A+C)
根据和差化积公式：sinA+sinC=2sin(A/2+C/2)cos(A/2-C/2)
倍角公式：sin(A+C)=2sin(A/2+C/2)cos(A/2+C/2)
则2sin(A/2+C/2)cos(A/2-C/2)=2√2sin(A/2+C/2)cos(A/2+C/2)
即cos(A/2-C/2)=√2cos(A/2+C/2)
cos(A/2)cos(C/2)+sin(A/2)sin(C/2)=√2[cos(A/2)cos(C/2)-sin(A/2)sin(C/2)]
两边同时除以cos(A/2)cos(C/2)，得：
1+tan(A/2)tan(C/2)=√2[1-tan(A/2)tan(C/2)]
令tan(A/2)tan(C/2)=x
1+x=√2(1-x)
1+x=√2-√2x
√2x+x=√2-1
(√2+1)x=√2-1
x=(√2-1)/(√2+1)
x=3-2√2
即tan(A/2)tan(C/2)=3-2√2

Answer 2

(1) a/sinA=b/sinB,c/sinC=b/sinB,(a+c)/b=(sinA+sinC)/sinB=√2，sinA+sinC=√2sin(A+C)，
2sin[(A+C)/2]cos[(A-C)/2]=2√2sin[(A+C)/2]cos[(A+C)/2]，
cos[(A-C)/2=√2cos[(A+C)/2]，
1+tan(A/2)tan(C/2)=√2[1-tan(A/2)tan(C/2)]，
tan(A/2)tan(C/2)=(√2-1)/(√2+1)=3-2√2。