Question

高二数学导数与最大值的问题。

已知函数f(x)=(x^2+2x+a)/x,x属于1到正无穷。
对于任意x属于1到正无穷,f(x)>0恒成立，试求a的取值范围。

Answer 1

f(x)=(x^2+2x+a)/x=x+a/x +2

f(x)>0

x+a/x>-2
当a>=0时
f(x)是对钩函数 最小值是 x=√a 时
即 2√a >-2 因为√a >0 所以a∈[0,正无穷)时均成立

当a<0时

f(x)是一个增函数 最小值是x=1时
1+a>-2

所以a>-3 所以a∈(-3,0)

所以综上所述 a∈(-3,正无穷)

或者

因为f(x)=(x^2+2x+a)/x,x∈[1,正无穷)
f(x)>0
x^2+2x+a>0即可
(x+1)^+a-1>0

此时此函数满足x最小时成立即都可成立

x=1时 4+a-1>0

a>-3

Answer 2

（x²+2x+a）/x >0恒成立 因为x大于1 所以x²+2x+a＞0在x属于1到正无穷恒成立
a＞-（x²+2x）在x属于1到正无穷恒成立 所以a大于-（x²+2x）在x属于1到正无穷上的最大值
最大值为-3 所以a＞-3

Answer 3

因为×大于等于1,所以×^2+2×+a>0恒成立，所以移项即a>-(×^2+2×)即只需求出-(×^2+2×)最大值根据抛物线开口向下，即对称轴处×=1取得最大值-3，所以a>-3

Answer 4

函数y=x^2+2x+a的倒数y‘=2x+2>0
在1,，正无穷为增函数
则f（x）min=f（1）=1+2+a>=0
所以a大于等于-3