Question

三角形ABC中，a+b=a/tanA+b/tanB求角C

Answer 1

根据正弦定理 a/sinA=b/sinB=2R 代入到条件中，有：
2RsinA+2RsinB=2RsinA/(sinA/cosA)+2RsinB/(sinB/cosB)
sinA+sinB=cosA+cosB
sinA-cosA=cosB-sinB
√2/2sinA-√2/2cosA=√2/2cosB-√2/2sinB
sinAcos(π/4)-cosAsin(π/4)=sin(π/4)cosB-cos(π/4)sinB
sin(A-π/4)=sin(π/4-B)
0<A,B<π
所以有 A-π/4=π/4-B 即 A+B=π/2所以，C=π-(A+B)=π/2
或者 有 A-π/4+π/4-B=π，这在三角形中是不可能的，所以舍去。
即 角C=90度

Answer 2

a+b=a/tanA+b/tanB
a（1- 1/tanA）+b(1-1/tanB)=0
a(1-cosA/sinA)+b(1-cosB/sinB)=0
根据正弦定理a/sinA=b/sinB
那么
sinA(1-cosA/sinA) +sinB(1-cosB/sinB)=0
(sinA-cosA)+ sinB-cosB=0
根号2sin（A-π/4）+根号2sin（B-π/4）=0
sin(A-π/4)=-sin(B-π/4)
∴A-π/4=π/4-B
A+B=π/2
C=π/2

Answer 3

由正弦定理，设a/sinA=b/sinB=k>0,则a=ksinA，b=ksinB，代入a+b=a/tanA+b/tanB，
得ksinA+ksinB=ksinA/(sinA/cosA)+ksinB/(sinB/cosB).
sinA+sinB=cosA+cosB,
sin[(A+B)/2+(A-B)/2]+sin[(A+B)/2-(A-B)/2]=cos[(A+B)/2+(A-B)/2]+cos[(A+B)/2-(A-B)/2],
2sin[(A+B)/2]cos[(A-B)/2]=2cos[(A+B)/2]cos[(A-B)/2],
0<A<π ,0<B<π ,-π<-B<0,-π<A-B<π,
-π/2<(A-B)/2<π/2,cos[(A-B)/2≠ 0,
sin[(A+B)/2]=cos[(A+B)/2],tan[(A+B)/2]=1,
0<A+B<π,0<(A+B)/2<π/2,
(A+B)/2=π/4,A+B=π/2,C=π-(A+B)=π/2.