Question

(2009·北京)如图，在梯形ABCD中，AD‖BC，∠B=90°,∠C=45°,AD=1,BC=4,E为AB中点，EF‖DC交BC于点F,求EF

共五种解法，已知“过点D作DG⊥BC于点G”的解法和“延长FE交DA的延长线于点G”的解法，求求另三种解法，有一种答一种，帮帮忙啊！！！！

Answer 1

可过点D作DG⊥BC于点G，解直角三角形DGC，求出DG=AB的长，进一步求出BE，再解直角三角形BEF，再解这个三角形即可；或延长FE交DA的延长线于点G，证明四边形DGFC是平行四边形，再证明△AGE≌△BFE，说明AG=BF，最后解依据DG=FC得出的一元一次方程即可．解答：解：解法一：如图1，过点D作DG⊥BC于点G．
∵AD‖BC，∠B=90°，
∴∠A=90度．
可得四边形ABGD为矩形．
∴BG=AD=1，AB=DG．
∵BC=4，一。过A点做平行EF的平行线交BC于G点（ADCG平行四边形AD=GC，ABG等腰三角形AB=BG,下边应该会了吧）
二。延长BA交CD的延长线于G点 (GBC是等腰三角形GB=BC,GAD也是等腰三角形GA=AD,下面也会了吧）
∴GC=3．
∵∠DGC=90°，∠C=45°，
∴∠CDG=45度．
∴DG=GC=3．
∴AB=3．
又∵E为AB中点，
∴BE= 12AB= 32．
∵EF‖DC，
∴∠EFB=45度．
在△BEF中，∠B=90度．
∴EF= BEsin45°= 322．

解法二：如图2，延长FE交DA的延长线于点G．
∵AD‖BC，EF‖DC，
∴四边形GFCD为平行四边形，∠G=∠1．
∴GD=FC．
∵EA=EB，∠2=∠3，
∴△GAE≌△FBE．
∴AG=BF．
∵AD=1，BC=4，
设AG=x，则BF=x，CF=4-x，GD=x+1．
∴x+1=4-x．
解得x= 32．∵∠C=45°，
∴∠1=45度．
在△BEF中，∠B=90°，
∴EF= BFcos45°=322．

Answer 2

一。过A点做平行EF的平行线交BC于G点（ADCG平行四边形AD=GC，ABG等腰三角形AB=BG,下边应该会了吧）
二。延长BA交CD的延长线于G点 (GBC是等腰三角形GB=BC,GAD也是等腰三角形GA=AD,下面也会了吧）