Question

初二全国奥数竞赛题，已知abc≠0，a²+b²+c²=1，且a（1/b+1/c）+b（1/a+1/c）+c（1/a+1/b）

为了参加竞赛，我就找过去的奥赛题，老师给个有难度的，我验算了七八张纸还没做出来，希望哪位数学教授，或做过这道题的高人指导一下，给一下求解的过程，好的话我立刻再追加30分，谢谢！（请不要复制别人的，不要漏解，不要跳步）

题目如下：已知abc≠0，a²+b²+c²=1，且a（1/b+1/c）+b（1/a+1/c）+c（1/a+1/b）= －3，求a+b+c的值

Answer 1

a(1/b+1/c)+b(1/a+1/c)+c(1/b+1/a)=-3
a(1/b+1/c)+b(1/a+1/c)+c(1/b+1/a)+3=0
a(1/b+1/c+1/a)+b(1/b+1/c+1/a)+c(1/b+1/c+1/a)=0
(a+b+c)(1/b+1/c+1/a)=0
(a+b+c)(ac+bc+ab)/abc=0
abc≠0
ab≠0 ac≠0 bc≠0
那么a+b+c=0

Answer 2

我认真计算一下，有空再说。

Answer 3

a（1/b+1/c）+b（1/a+1/c）+c（1/a+1/b)
=a(b+c)/bc+b(a+c)/ac+c(a+b)/ab
=[a^2(b+c)+b^2(a+c)+c^2(a+b)]/abc
=[ab(a+b)+ac(b+c)+bc(a+b)]/abc=-3
ab(a+b)+ac(b+c)+bc(a+b)+3abc=0
(a+b+c)(ab+bc+ac)=0
a+b+c=0或ab+bc+ac=0（此时（a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc=1, a+c+c=±1）
所以a+b+c=0或±1