Question

简单的高中数学问题。帮解一下。

已知3维空间内的3个点坐标值(x1,y1,z1),(x2,y2,z2),(x3,y3,z3)，第4个点(x4,y4,z4)与这3个点所成的平面做垂线，求垂线长度

Answer 1

已知3维空间内的3个点坐标值(x1,y1,z1),(x2,y2,z2),(x3,y3,z3)，第4个点(x4,y4,z4)与这3个点所成的平面做垂线，求垂线长度
解：设所求平面的法线矢量为｛A,B,C},其中A,B,C,不同时为零。因平面通过点M₁(x₁,y₁,z₁)
则平面方程可写为：
A（x-x₁)+B(y-y₁)+C(z-z₁)=0................................(1)
M₂(x₂,y₂,z₂)和M₃（x₃,y₃,z₃)也在这个平面上，则得下列两个条件：
A(x₂-x₁)+B(y₂-y₁)+C(z₂-z₁)=0.......................(2)
A(x₃-x₁)+B(y₃-y₁)+C(z₃-z₁)=0.................,.....(3)
由（1）（2）（3）组成的关于A,B,C的齐次方程有非零解的条件为三阶行列式：
│x - x₁ y - y₁ z - z₁│
│x₂-x₁ y₂-y₁ z₂-z │＝0
│x₃-x₁ y₃-y₁ z₃-z₁│
打开这个行列式，即得平面方程Ax+By+Cz+D=0
点P(x₄,y₄,z₄)到该平面的距离（即垂线长）d=│Ax₄+By₄+Cz₄+D│/√(A²+B²+C²) .

Answer 2

解法如下：
点到面距离：设平面外一点A,找到平面内任意一点B,求出向量AB坐标，求平面一个法向量n,则点A到平面距离d=|AB*n|/|n|