Question

过点M(0,-1)的直线l交双曲线2x^2-y^2=3于两个不同的点A,B ,O是坐标原点， 直线OA与OB的斜率之和为1,

求直线l的方程。请问答案是否为3y-2x+3=0

Answer 1

设直线斜率为k，因为过点M（0，-1），故直线方程为y=kx-1
将y=kx-1代入2x^2-y^2=3得：
2x^2 - (kx-1)^2 = 3
(k^2-2)x^2 - 2kx + 4 = 0
根据韦达定理：
x1+x2=2k/(k^2-2)
x1x2=4/(k^2-2)

直线OA与OB的斜率之和为1
∴y1/x1+y2/x2=1
(x1y2+x2y1)/(x1x2)=1
y1=kx1-1，y2=kx2-2
{x1(kx2-1)+x2(kx1-1)}/(x1x2)=1
{2kx1x2-(x1+x2)}/(x1x2)=1
2k - (x1+x2)/(x1x2) = 1
(x1+x2)/(x1x2) = 2k-1
{ 2k/(k^2-2) } / { 4/(k^2-2) } = 2k-1
2k/4 = 2k-1
6k=4
k=2/3
直线方程y=2/3x-1
2x - 3y -3 = 0
与你写的3y-2x+3=0一致，不过一般习惯写法是2x - 3y -3 = 0

Answer 2

是的。